ডিগ্রী প্রথম বর্ষ ২০২৩ গণিত প্রথম পত্র (মৌলিক গণিত:১১৩৭০১) রকেট স্পেশাল সাজেশন

ক_বিভাগ (অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

১। পূর্ণরূপ লিখ- G.C.D,
২। বাস্তব সংখ্যা কী?
উঃ মুক্ত সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা। ইহা ঋণাত্মক, শূন্য ও ধনাত্মক হতে পারে।
৩। প্রকৃত উপসেট বলতে কী বোঝায়?
উঃ যদি দুটি অশূন্যক সেট A ও B এমন হয় যে, A সেটের সকল উপাদান B সেট বিদ্যমান কিন্তু B সেটের সকল উপাদান A সেটে বিদ্যমান নয় তখন A কে B সেটের প্রকৃত উপসেট বলে। ইহাকে A B দ্বারা সূচিত করা হয়।
৪। স্বাভাবিক সংখ্যা কাকে বলে?
উঃ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাগুলিকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে।
৫। গাণিতিক উক্তির সংজ্ঞা দাও।
উঃ যে বাক্য সত্য বা মিথ্যা বা সঠিকভাবে নির্ণয় করা যায়, সে বাক্যকে গাণিতিক উক্তি বলে।
৬। আর্গন্ড সমতল কাকে বলে?
উঃ জটিল সংখ্যার ক্রমজোড় আকারকে বিন্দু হিসেবে সমতলে স্থাপন করা যায়। এইরূপ সমতলকে আর্গন্ড সমতল বলে। অনেক সময় আর্গন্ড সমতলকে জটিল সমতল বা গতিসীয় সমতল বা Z সমতল বলা হয়।
৭। অন্বয়ের ডোমেন কাকে বলে?
উঃ একটি অন্বয়ের সকল ক্রমোজোড়ের প্রথম উপাদানের সেটকে ঐ অম্বয়ের ডোমেন বলে।
৮। অমূলদ সংখ্যা বলতে কী বুঝ?
৯। খোলা ব্যবধি কাকে বলে?
উঃ মনে করি a ও b দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং a < b. a ও b-কে বাদ দিয়ে উহাদের মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যার সেটকে খোলা ব্যবধি বলে। ইহাকে (a, b) বা ]a. b[প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। . (a, b) = {x € Ra< x < b}. ১০। স্বাভাবিক সংখ্যা কাকে বলে? উঃ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাগুলিকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। ১১। একটি প্রতিসাম্য ফাংশনের উদাহরণ দাও। উঃ f (x, y, z) = x2+y+2 একটি প্রতিসাম্য ফাংশন। ১২। যোগসিদ্ধ সংখ্যা কী? উঃ n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং n এর ধনাত্মক উৎপাদকের সমষ্টি উহার দ্বিগুণ অর্থাৎ 5 (n) = 2n হলে n কে যোগসিদ্ধ সংখ্যা বলা হয়। ১৩। গাণিতিক উক্তির সংজ্ঞা দাও। উঃ যে বাক্য সত্য বা মিথ্যা বা সঠিকভাবে নির্ণয় করা ক্রম যায়, সে বাক্যকে গাণিতিক উক্তি বলে। ১৪। একটি অন্বয়ের উদাহরণ দাও যা ফাংশন নয়। উঃ A = {1, 2, 3} সেট হইতে B = {4, 5} সেটে R = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (3, 5)} একটি অন্বয় কিন্তু ফাংশন নয়। ১৫। অসমতার সংজ্ঞা দাও। উঃ অসমতা হলো দুটি সংখ্যা বা রাশির মধ্যে সম্পর্ক। ≠, <, > দ্বারা প্রকাশিত গাণিতিক সংখ্যা বা বাক্য বা রাশিকে অসমতা বলে।
১৬। এককের ঘনমূলসমূহের যোগফল কত?
১৭। বহুপদীর ভাগশেষ উপপাদ্যের বর্ণনা দাও।
উঃ যদি a যেকোনো একটি ধ্রুবক এবং f(x) বহুপদীকে x − a দ্বারা ভাগ করা হয় তবে ভাগশেষ F(a) হবে।
১৮। যুগল মৌলিক সংখ্যা বলতে কী বুঝ?
উঃ যদি দুইটি মৌলিক সংখ্যার পার্থক্য 2 হয় তবে উহাদেরকে যুগল মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন— 3 ও 5 যুগল মৌলিক সংখ্যা।
১৯। 2, 4, 8, 16, ধারার n তম পদ কত?
উঃ 2, 4, 8, 16, ……. ধারার n তম পদ হলো, 2.2n-1 = 2n.
২০। যদি z = 3 + 4i হয় তবে zzকত?
২১। খোলা বাক্যের সংজ্ঞা দাও।
উঃ x = 10, xER একটি খোলা বাক্য। এখানে বাক্যটি সত্য বা মিথ্যা হতে পারে। x এর মান 10 হলে বাক্যটি সত্য এবং x এর অন্যান্য মানের জন্য বাক্যটি মিথ্যা হবে। সুতরাং x এর কোনো নির্দিষ্ট মানের জন্য বাক্যটি উক্তি হবে। উল্লিখিত খোলা বাক্যটিতে নিম্নের দুটি উক্তিতে প্রকাশ করা যায়।
(i) x = 10, VxE R বা, (VxER) (x = 10) বা, (Vx) (x = 10);
(ii) x = 10, 3xe R বা, (3ER) (x = 10) বা, (x) (x = 10).
২২। কার্তেসীয় গুণজ সেট বলতে কী বুঝ? উদাহরণ দাও।
উঃ যদি A এবং B দুইটি অশূন্যক সেট হয় তবে সকল
ক্রমজোড় (a, b) এর সেট যেখানে ae A এবং be B কে A ও B এর কার্তেসীয় গুণন বলে। ইহাকে Ax B দ্বারা প্রকাশ করা যায়। উদাহরণ : A = {1, 2} এবং B = {a, b, c} হলে.. Ax B = {( 1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}.
২৩। এককের ঘনমূলের জটিল মূল দুইটি লিখ।
২৪। মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা দাও।
উঃ যে সংখ্যাকে ভাগ করলে । ভিন্ন অন্য কোনো সংখ্যা পাওয়া যায় না অথবা যে সংখ্যাকে বিশ্লেষণ করা যায় না তাকে মৗলিক সংখ্যা বলে।
২৫। 1 + 3 + 5 +……+n পদ পর্জন্ত ধারাটির যোগফল লিখ।
২৬। ইউক্লিডের অ্যালগরিদম লিখ।
২৭। অভেদ বলতে কী বুঝ?
উঃ A সেটে অভেদ অন্বয়কে 4 দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যাহা নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত : 44 = {(a, a) : Vae A }.
২৮। ডি-ময়ভরের উপপাদ্যটি লিখ।
উঃ n বাস্তব সংখ্যা হলে (cos + i sin ()” এর মান অথবা একটি মান (cos n+i sin ne).
২৯। শর্তায়ন উক্তি বলতে কি বুঝ?
উঃ দুই উক্তিকে “যদি তবে” দ্বারা সংযুক্ত করলে যে উক্তি পাওয়া যায় তাকে শর্তায়ন উক্তি বলে। যেমন- উক্তিঃ অধ্যয়নে মনোযোগী হও। পরীক্ষায় ভালো করবে। শর্তায়ন উক্তি : যদি অধ্যয়নে মনোযোগী হও তবে পরীক্ষায় ভালো করবে।
৩০। জটিল সংখ্যার জন্য অয়লারের সূত্রটি লিখ।
উঃ
৩১। বীজগাণিতীয় মৌলিক উপপাদ্য কি?
উঃ প্রত্যেক n ঘাতের বহুপদী সমীকরণের n সংখ্যক মূলবিদ্যমান।
৩২। ফাঁকা সেটের সংজ্ঞা দাও।
উঃ সদস্যবিহীন সেটকে ফাঁকা সেট বলে।
৩৩। মারসেনী সংখ্যা কি?
উঃ যদি P মৌলিক সংখ্যা হয় তবে 2P–1 আকারের সংখ্যাকে মারসেনী সংখ্যা বলা হয়। ইহাকে Mp দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
৩৪। মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞা দাও।
উঃ যে সকল সংখ্যাকে q # 0 আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই মুলদ সংখ্যা।
৩৫। 12+2+32 + ……..+ n2 ধারাটির যোগফল নির্ণয়ের সূত্রটি লিখ।
৩৬। শর্তহীন অসমতার সংজ্ঞা দাও।
উঃ যে অসমতা সম্পর্কযুক্ত বা সম্পর্কযুক্ত নয় তাকে চলকের প্রত্যেক মানের জন্য অসমতা বলে।
৩৭। এক-এক ফাংশনের সংজ্ঞা দাও।
উঃ f : A → B ফাংশনকে এক-এক ফাংশন বা ইনজেকটিভ ফাংশন বলা হবে যদি A এর ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের প্রতিবিম্ব B সেট-এ ভিন্ন ভিন্ন হয়।
৩৮। একটি ত্রিঘাত বিশিষ্ট সমীকরণের মূল ও সহগের মধ্যকার সম্পর্ক লিখ।
৩৯। -1 + i এর মুখ্য আরগুমেন্ট কত?
৪০। “ভাজিত গড়” বলতে কি বুঝ?
৪১। a একটি বাস্তব সংখ্যা হলে √a কিরূপ সংখ্যা হবে?
উঃ a একটি বাস্তব সংখ্যা হলে √ā বাস্তব সংখ্যা হবে।
৪২। কচি-শোয়ার্জের অসমতা বলতে কি বুঝ?
উঃ (a1, a2, an}, {b1, b2, সংখ্যার সেটদ্বয় সমানুপাতিক হলে CS (aj b1 + a2b2 + anbn) 2 ≤ (a2 + a2 + …….(b₁² + b₂²+………… + -bn 2)
৪৩। (1)1/7 এর মান কত?
৪৪। উইলসনের উপপাদ্যটি লিখ।
উঃ যদি P পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে উইলসন এর উপপাদ্য হলো- (P – 1)! + 1 = 0 (mod p).
৪৫। নিম্নের অম্বয়ের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর:
R = {(1, y), (1, z), (3, y), (4, x), (4, z)}
উঃ অন্বয় R এর ডোমেন = {1, 3, 4) এবং রেঞ্জ ={x, y, z} ।
৪৬। x + 2 = 3 বাক্যটি কি উক্তি?
উঃ x + 2 = 3 বাক্যটি উক্তি নয়। কারণ এখানে x এর মান জানা না থাকায় বাক্যটি সত্য না মিথ্যা তা বুঝা যাচ্ছে না।
৪৭। যদি A = 0 এবং B = {3, 5} হয়, তবে Ax B নির্ণয় কর।
উঃ যদি A = Q_ এবং B = {3, 5} হয়, তবে Ax B = 4 x {3, 5} +0.
৪৮। অন্বয় কাকে বলে?
উঃ A ও B. দুইটি সেট হইলে Ax B এর যেকোনো উপসেটকে A সেট হইতে B সেটের অন্বয় বলে।
৪৯। এক-এক ফাংশনের সংজ্ঞা দাও।
৫০। যোগোত্তর মধ্যক বলতে কি বুঝ?

খ-বিভাগ (সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

১। দেখাও যে, p ∨ (q ∧ r) এবং (p ∨ q) ∧ (p ∧ r) যৌক্তিকভাবে সমতুল্য। ১০০%
অথবা, প্রমাণ কর যে, ~ (p∨q) ≅ ~ P∧~q.
২। যদি A ও B দুইটি অশূন্য সেট হয় তবে দেখাও যে, (A∪B)’ = A’∩B’. ১০০%
অথবা, যদি A ও B সেটের পূরক সেট যথাক্রমে A’ ও B´ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, (A U B) = A’∩B’.
৩। প্রমাণ কর যে, (–a) (b) = ab, ∀ a, b, ∈ R. ১০০%
অথবা, প্রমাণ কর যে, a (– b) = (– a) b =(ab), যখন ∀a, b ∈ R.
৪। যদি z₁, z₂ ∈ c হয়, বা, যদি z₁ এবং z₂ দুইটি জটিল তবে দেখাও যে, |z₁ + z₂| ≤ |z₂|. ১০০%
৫। x³ – x – 1 = 0 এর মূল α, β, λ হলে, ∑(1 +.α/1 – α) এর মান নির্ণয় কর। ১০০%
অথবা, x³ – px² + qx – r = 0 সমীকরণের মূলগুলো α, β, y হলে, ∑α²β =?
অথবা, 2x³ + 3x² – x – 1 = 0 সমীকরণের মূল α, β, y হলে 1/1 – α, 1/1 – β, 1/1 – y মূল বিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।
অথবা, x³ + px + r = 0 সমীকরণের মূলত্রয় a, b, c হলে এমন একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলত্রয় b+c/a², c+a/b², a+b/c².
৬। যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা এবং (m, p) = 1 হয় তবে দেখাও যে, m^p⁻¹ = 1 (mod p). ১০০%
৭। n পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর : 1.3.5 + 2.4.6+3.5.7+……. ১০০%
অথবা, n-পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর: 2+5+8+11+……n পদ পর্যন্ত।
৮। যদি a, b, c> 0 এবং a + b + c = 1 হয়, তবে দেখাও যে, 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9. ১০০%
৯। x² – 5x + 6 > 0 অসমতাটি সমাধান কর। ১০০%
১০। দেখাও যে, দুইটি ভিন্ন মূলদ সংখ্যার মধ্যে কমপক্ষে একটি মূলদ সংখ্যা বিদ্যমান। ১০০%
অথবা, দেখেও যে, দুইটি ভিন্ন বাস্তব সংখ্যার মাঝে অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা আছে।
১১। Z = 1 + sinα + i cosα হলে Z এর মডুলাস ও আরগুমেন্ট নির্ণয় কর। ৯৯%
১২। যদি ⨍: A →B এবং g: B→ C ফাংশন দুইটির প্রত্যেকে এক-এক ও সার্বিক হয়, তবে দেখাও যে, (go⨍)⁻¹ = ⨍⁻¹og⁻¹. ৯৯%
১৩। 1 – i/1 + i এর এডুলাস এবং আগুমেন্ট নির্ণয় কর। ৯৯%
১৪। (i) ¼এর মান নির্ণয় কর। ৯৯%
১৫। প্রমাণ কর যে, (A – B) ∩ B = ∅. ৯৯%
১৬। A, B, C যেকোনো তিনটি সেট হলে দেখাও যে, A – (B U C) = (A–B) ∩ (A – C). ৯৯%

গ-বিভাগ (রচনামূলক প্রশ্ন)
১০। (ক) ট্যটলজি ও ফ্যালাসির সংজ্ঞা দাও। দেখাও যে, p ∧ (q ∨ r) ⇔(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) উক্তিটি ট্যটলজি। ১০০%
(খ) p, q ও r তিনটি উক্তি হলে, নিম্নের উক্তিসমূহের সত্যতা ছক গঠন কর :- ১০০%
(i) ~ p ∧ q) ∨~ (q⇔q);
(ii) [(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r).
২। (ক) প্রমাণ কর যে, (A – B) U (B – A) = (A U B) – (A ⋂ B). ১০০%
(খ) যদি ⨍: A→ B; A : B ∈ R এবং ⨍(x) = x – 3/2 x + 1. হয়, তবে ⨍, এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর। ⨍⁻¹ ও নির্ণয় কর। ১০০%
৩। (ক) A, B, C তিনটি সসীম সেট হলে প্রমাণ কর যে, A U (B∩C) = (AUB) ∩ (AUC). ১০০%
(খ) A, b, C তিনটি সসীম সেট হলে, দেখাও যে, n (A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(B∩C) – (C∩A) + n (A∩B∩C). ১০০%
৪। (ক) a, b এবং c যোগবোধক অসমান সংখ্যা হলে, দেখাও যে, b⁴ + c⁴/b + c + c⁴ + a⁴/c + a + a⁴ + b⁴/a + b > 3abc. ১০০%
(খ) 2/a+b + 2/b+c + 2/c+a ≥ 9/a+b+c. ১০০%
৫। যদি x = cosα + i sinα, y = cosβ + i sinβ, z = cosy + i siny এবং x + y + z = 0 হয়, তবে দেখাও যে, cos²α + cos²β + cos²y = 3/2. ১০০%
৬। 6x⁴ – 29x³ + 40x² – 7x – 12 = 0. সমীকরণটি সমাধান কর যার দুইটি মূলের গুণফল 2. ১০০%
৭। 2.4.6² + 4.6.8² + 6.8.10² +……………… এর n পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর। ১০০%
৮। A = R – {3} এবং B =R – {1} এবং f:A→B, f(x) = x – 2/x – 3 প্রমাণ কর যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। f⁻¹ নির্ণয় কর। ১০০%
৯। n পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর : ১০০%
10 + 23 + 60 + 169 + 494 + ………
১০। দেখাও যে, tan⁻¹ ⅓ + tan⁻¹ ⅐ + tan⁻¹ ⅟₁₃ + ……… + tan⁻¹. 1/1 + n (n + 1) = tan⁻¹.n/n + 2. ১০০%
১১। নিম্নের সম্পর্কগুলো দ্বারা প্রকাশিত অঞ্চলের বর্ণনা দাও :
(i) Re (1/z) < ½ (ii) 1< |z+i| ≤ 2. ১০০%
১২। নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলো যোগসিদ্ধ কিনা যাচাই কর :
(i) 1344; (ii) 8128.
১৩। দেখাও যে, (1 + sinθ + i cosθ/1 + sinθ – i sinθ)ⁿ = cost (nπ/2 – nθ) + i sin (nπ/2 – nθ). ৯৯%
১৪। যদি x⁴ + px³ + qx² + rx + s = 0 এর মূলগুলো a, b, c, d হয়, তবে দেখাও যে ∑a/b = pr/s – 4. ৯৯%
১৫। দেখাও যে, (1 + cosθ + i sinθ)ⁿ + (1 + cosθ – i sinθ)ⁿ = 2ⁿ⁺¹ cos.nθ/2(cos.θ/2)ⁿ. ৯৯%
১৬। (ক) n সংখ্যক পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করঃ
3/1.2.4 + 4/2.3.5 + 5/3.4.6 +………… ৯৯%
(খ) n পদ পর্যন্ত নির্ণয় কর:
√1 + sinx + √1+ sin2x + √1+ sin3x +………৯৯%