হোলোমোরফিক ফাংশন:
সংজ্ঞা:
একটি জটিল ফাংশন f(z) কে হোলোমোরফিক বলা হয় যদি z এর প্রতিটি জটিল মান z0 এর কাছে f(z) এর অবকলজ বিদ্যমান থাকে এবং z0 এ f(z) বিযুক্ত হয়।
সহজ কথায়:
- f(z) একটি জটিল সংখ্যাকে (যেমন 2+3i) অন্য জটিল সংখ্যায় (যেমন 4−2i) রূপান্তর করে।
- f(z) টির প্রতিটি বিন্দুতে (যেমন z=2+3i) অবকলজ থাকতে হবে।
- f(z) টির প্রতিটি বিন্দুতে (যেমন z=2+3i) বিযুক্ত হতে হবে।
উদাহরণ:
- f(z)=z2 একটি হোলোমোরফিক ফাংশন কারণ প্রতিটি জটিল মান z0 এর জন্য f′(z0)=2z0 বিদ্যমান এবং f(z0) বিযুক্ত।
- f(z)=z1 একটি হোলোমোরফিক ফাংশন নয় কারণ z=0 এ f(z) অপরিমেয়।
গুরুত্ব:
- হোলোমোরফিক ফাংশনগুলি জটিল বিশ্লেষণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।
- বহুগুণ, ঘাত ফাংশন, ট্রাইগোনোমেট্রিক ফাংশন এবং ইক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন সহ অনেক সাধারণ জটিল ফাংশন হোলোমোরফিক।
- হোলোমোরফিক ফাংশনগুলির অনেক আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যেমন কৌচির-রিমান সমীকরণ এবং ব্যালির নীতি।